Explorando a equação reduzida e a equação geral da reta com o GeoGebra

Hoje, explorei, com a 3ª série do Ensino Médio, com a ajuda do GeoGebra, os conceitos de equação reduzida e geral da reta.

Hoje, explorei, com a 3ª série do Ensino Médio, com a ajuda do GeoGebra, os conceitos de equação reduzida e equação geral da reta. O centro da nossa exploração residiu no fato de que a equação reduzida e a equação geral de uma mesma reta se referem ao mesmo ente geométrico e isto pode ser explorado no GeoGebra.

Para começar, relacionei a equação reduzida da reta à função afim, tema estudado na 1ª série do ensino médio. Veja que, na equação reduzida da reta y=mx+n, m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. Na função afim y=ax+b, a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Veja que podemos relacionar m a a e n a b. Tanto a equação reduzida da reta quanto a função afim tem como representação, no plano cartesiano, justamente uma reta. Segundo Ausubel, partir do que o estudante já sabe é de fundamental importância para o seu aprendizado (para saber mais sobre Ausubel e sua obra clique aqui).

Relacionando a equação reduzida da reta com a equação geral da reta

Discuti com eles, que para descobrir  qual era a reta que passava pelos pontos (0,1) e (1,0), deveríamos substituir primeiro o ponto (0,1) em y=mx+n e descobrir n, depois substituir o ponto (1,0) em y=mx+n e descobrir m. Feito isto, chegamos a y=-x+1. Escolhi propositalmente valores que não recaíssem em um sistema de equações. 

Mostrei a eles que era possível colocar a equação y=-x+1 no modelo ax+by+c=0, o qual corresponde à equação geral da reta, colocando todos os elementos de y=-x+1 no mesmo membro da equação e que esta equação x+y-1=0, podia ser representada, no plano cartesiano, pela mesma reta que representa y=-x+1.

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Relacionando a equação reduzida da reta com a equação geral da reta usando um exemplo que necessita de um sistema de equações

Com a relação entre a equação reduzida da reta e a equação geral da reta estabelecida apresentei outros dois pontos e estabeleci, juntamente com os estudantes, a equação reduzida da reta que passava por estes dois pontos. Neste caso, tivemos que recorrer a um sistema de equações.

Propus que buscássemos a reta que passava pelos pontos (1,2) e (5,5). Fizemos isto e chegamos à equação reduzida da reta, com m=3/4 e n=5/4, ou seja y=(3/4)x+5/4.

Mostrei também que era possível fazer com que a equação reduzida da reta fosse colocada no modelo da equação geral da reta, ax+by+c=0, colocando todos os elementos no mesmo membro da equação e que esta equação geral -3/4x+y-5/4=0 também se referia à mesma reta de y=3/4x+5/4.

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Conclusão

O uso do GeoGebra facilita a compreensão e a visualização de que, quando se trata da representação no plano cartesiano uma reta, que ela pode ser representada algebricamente tanto pela equação reduzida da reta, quanto pela equação geral da reta. Segundo Duval a compreensão de um conceito é facilitada pela coordenação de múltiplas representações do mesmo objeto matemático (para conhecer mais da obra de Duval, clique aqui).

A autora

Daniela Mendes é doutora pelo programa de pós graduação em Ensino de Matemática da UFRJ, leciona Matemática no Ensino Médio (SEEDUCRJ) e no Ensino Superior (UERJ). É também professora dos cursos de formação continuada da Fundação CECIERJ para  professores de Matemática.  Coordena, no Colégio Estadual Hebe Camargo, desde 2014, o projeto Laboratório Sustentável de Matemática.