Construindo a Trigonometria na Circunferência com materiais concretos na V JORMAT

Olá Pessoal, no dia 28 de Novembro, a  Equipe do Laboratório Sustentável de Matemática (LSM) marcou presença na V Jormat - Jornada de Educação Matemática da Faculdade de Formação de Professores da UERJ do campus São Gonçalo.

Para quem não teve a oportunidade de participar,  apresento uma oficina  que aplicamos na jornada, intitulada Trigonometria Na Circunferência de autoria de Darling Domingos (SEEDUCRJ), com a coautoria de Bruno Gonçalo Penedo Souza (UERJ) ,Carolina França (Mestranda PPGEB-CAp UERJ) e Daniela Mendes Vieira da Silva (SEEDUC, Mestranda PPGEduCIMAT/UFRRJ).

Segue abaixo o relato desta experiência:

TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA



INTRODUÇÃO E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA


O uso de materiais manipuláveis se configura em uma alternativa pedagógica interessante, esta afirmativa se fundamenta em Pestalozzi, uma vez que já no século XVIII, acreditava em uma educação que se constituísse a partir da atividade dos jovens tendo suportes concretos como apoio. Tal crença era tão forte que ele fundou um internato onde o currículo adotado dava ênfase, entre diversas outras atividades, à modelagem, aos jogos, e à manipulação de objetos, onde as descrições deveriam preceder às definições; o conceito nascer da experiência direta e das operações sobre as coisas (CASTELNUOVO,1970).

Tais subsídios concretos permitem aos estudantes fazer inferências e traçar conjecturas ao fornecer diversos suportes de representação para os objetos matemáticos e, por conseguinte facilitar à sua compreensão conforme nos alerta Anglieri apud Batista & Spinillo: Suportes de representação podem ser entendidos como signos, ferramentas e materiais usados durante a resolução de uma situação-problema, tais como material concreto (dedos, fichas, palitos, pedrinhas, jarros, flores, etc.) ou recursos gráficos diversos (desenhos, marcas icônicas, diagramas, gráficos,tabelas, etc.). Considerados como um significante, os suportes de representação são elementos que, inseridos em uma dada situação, conferem sentido ao conceito e influenciam as formas de resolução (ANGHILERI, 1998, p.2).


Portanto, decidimos utilizar tais subsídios nas práticas que inspiraram esta oficina, práticas estas que serão detalhadas no decorrer deste texto. 


METODOLOGIA


Para as quatro atividades do dia, separamos os participantes em grupos de, no máximo, 4 participantes. Cada grupo recebeu um kit de materiais concretos para as práticas do dia, que seguem descritas abaixo:



Atividade 1: Semelhança de triângulos com palitos



Nesta atividade utilizamos palitos de picolé para relacionar frações equivalentes à semelhança de triângulos (figura 1). Para iniciar, pedimos que formassem triângulos equiláteros com medida de lado igual a uma unidade, em seguida com medidas de lado igual a duas unidades e, para finalizar, com medidas de lados iguais a 2, 3 e 2 unidades, respectivamente. Ao observar as três construções, os participantes foram questionados quanto os lados, os ângulos internos e as proporções equivalentes entre os lados. Compreendendo assim, através da observação, que é a proporcionalidade entre os lados que determina a congruência de ângulos dos triângulos considerados.




Figura 1: Palitos coloridos para estudo da semelhança de triângulos 
Fonte: Dados de pesquisa




Atividade 2: Construindo as razões trigonométricas no círculo trigonométrico.


Em nossa segunda atividade, utilizamos o conjunto de materiais manipulativos elaborados para o estudo da trigonometria na circunferência, material este feito a partir de tampas de achocolatado, canudinhos, porcas e parafusos (figura 2) com o apoio do qual compreendemos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente como razões de semelhança de triângulos.





Figura 2: Tampas de achocolatado para estudo razões trigonométricas 
Fonte: Dados de pesquisa


A partir do material acima (figura 2) disponibilizado, montamos triângulos semelhantes formados no primeiro quadrante, construindo o entendimento, a partir da manipulação dos materiais, de que as razões trigonométricas nada mais são do que razões de semelhança com nomes especiais para cada situação típica como bem ilustrado pelo material abaixo que foi utilizado como apoio à prática (figura 3).




Figura 3: Triângulos semelhantes destacados no círculo trigonométrico 

Fonte: Dados de pesquisa

Atividade 3: Redução de ângulos ao Primeiro Quadrante no Círculo Trigonométrico


Em nossa terceira atividade, utilizamos um material feito com cartolina, régua, canetinhas e durex colorido para encontrar os ângulos correspondentes nos quatro quadrantes do círculo trigonométrico. 

Para tanto, utilizamos um material feito a partir de um molde circular aplicado e recortado na folha de cartolina e dobrado ao meio por duas vezes, pois desta forma encontramos os 4 quadrantes e o centro do círculo, e o demarcamos com canetinha. Neste material, Marcamos um ângulo qualquer no primeiro quadrante e o destacamos com durex vermelho. Fazendo a dobradura do círculo na vertical e na horizontal pelos seus eixos de simetria, encontramos os ângulos correspondentes a estes nos demais quadrantes, conforme a figura 4. 




Figura 4: Material para redução de ângulos ao primeiro quadrante 

Fonte: Dados de pesquisa


Fizemos, com o apoio do material acima (figura 4), a generalização da redução para o 1° quadrante para quaisquer ângulos correspondentes, como dado um ângulo β onde encontramos:


180o – β para o segundo quadrante;


180o + β para o terceiro quadrante;


360o - β para o quarto quadrante. 



Atividade 4: Estudo de sinais no Círculo Trigonométrico de papelão


Nesta quarta atividade utilizamos círculo trigonométrico para estudar os sinais das razões trigonométricas no triângulo retângulo para quaisquer quadrantes. Com o apoio do material abaixo e de suas réplicas em tamanho menores disponíveis nos grupos, os participantes compreenderam os sinais das razões trigonométricas nos quatro quadrantes e suas relações com os sinais do plano cartesiano, encerrando o estudo do tema trigonometria na circunferência.






Figura 5: Círculo Trigonométrico de papelão 
Fonte: Dados de pesquisa


Com apoio do material acima analisamos, por exemplo, os arcos de 30°, 150°, 210° e 330°, determinando os seus senos e cossenos e, assim analisando a relação que há entre esses valores. Ou seja, que ao unir os extremos dos arcos de 30°, 150°, 210° e 330º obtemos um retângulo, que proporciona de forma visual e manipulável a generalização para os senos e cossenos dos arcos correspondentes aos seus vértices. Tal generalização da redução para o 1° quadrante para quaisquer ângulos correspondentes, como dado um ângulo β será:



sen (180º - β) = sen β cos (180° - β) = - cos β


sen (180° + β) = - sen β cos (180° + β) = - cos β


sen (360° - β) = - sen β cos (360° - β) = cos β 





CONSIDERAÇÕES FINAIS 


Observamos, ao final da oficina, que os participantes foram sensibilizados para a importância do uso de suportes no aprendizado de matemática. Assim como para a facilidade e baixo custo na confecção destes materiais. Materiais estes que podem ser reaproveitados por diversas vezes e com inúmeras turmas, compensando o trabalho inicial de elaboração. Também que perceberam que a manipulação do material concreto permite a visualização dos conceitos e possibilita ao professor levantar questionamentos que facilitem a compreensão e generalização de temas a partir de situações particulares que o envolvam.







REFERÊNCIAS 



ANGHILERI, J. Uses of couting in multiplication and division. In: THOMPSON, I.

(Org.), Language in mathematical education. Buckingham: OpenUniversity Press. 1998 


AUSUBEL, D. P. A aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982. 


BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 1999. 4v. 


CASTELNUOVO, E. Didatica de la Matemática Moderna. México: Trillas, 1970. 



Abraços!


Vinícius Borovoy











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