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Reflexões sobre a utilização dos algoritmos no ensino de matemática. Por Rafael Novoa.

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Há alguns anos atrás, nas aulas do mestrado, vi um vídeo que fez, e faz, como que eu repense constantemente minha prática pedagógica. Era uma aula na qual o professor introduziria aadição de números naturais com mais de dois algarismos para alunos do ensino fundamental 1 em uma escola na zona rural japonesa. No vídeo, o professor apresentava a “conta”, uma adição com número posicionados lado a lado. A aula prosseguiu com o professor dividindo a turma em grupos e estabelecendo a tarefa: cada grupo deveria resolver aquela adição (elaborar um algoritmo para aquela operação). Os grupos começaram a trabalhar e o professor fornecia algumas orientações, sem dar respostas. A maior parte destas dicas eram fornecidas como perguntas.

Há alguns anos atrás, nas aulas do mestrado, vi um vídeo que fez, e faz, como que eu repense constantemente minha prática pedagógica. Era uma aula na qual o professor introduziria a adição de números naturais com mais de dois algarismos para alunos do ensino fundamental 1 em uma escola na zona rural japonesa. No vídeo, o professor apresentava a “conta”, uma adição com número posicionados lado a lado. A aula prosseguiu com o professor dividindo a turma em grupos e estabelecendo a tarefa: cada grupo deveria resolver aquela adição (elaborar um algoritmo para aquela operação). Os grupos começaram a trabalhar e o professor fornecia algumas orientações, sem dar respostas. A maior parte destas dicas eram fornecidas como perguntas. 

O que é um algoritmo?


Antes de continuar esta estória, é necessário refletir um pouco sobre o que seja um algoritmo e como nós professores lidamos com ele. Segundo o Wikipédia, um algoritmo é uma “sequência finita de regras, raciocínios ou operações que, aplicada a um número finito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas”. Por exemplo: “Para dividir uma fracção por uma fracção, multiplica-se a fracção dividendo pela fracção divisor invertida”. Se você leu com atenção, percebeu que a palavra fração está escrita como fracção. Trata-se de um texto do livro Elementos de Aritmética, de 1920, da editora FTD. 


Observe que o algoritmo que utilizamos para dividir frações não mudou. Desde 1920 - se passaram quase 100 anos - ensinamos a divisão de frações do mesmo jeito. Ensinamos apenas o processo que temos que realizar para dividir duas frações: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. O algoritmo é ensinado destituído de conceito. Provavelmente, do modo como comumente é feito, não faz o “menor sentido” para os alunos e, até mesmo, professores. Essa hipótese nos conduz à seguinte pergunta: por que ensinamos algoritmos sem significados? Talvez porque aprendemos desse modo ou porque não sabemos outra maneira de fazer. Quem sabe, nós nunca nos dispusemos a refletir sobre o que é Matemática, que Matemática queremos que nossos alunos aprendam. A Matemática não pode ser pensada como uma receita de bolo, que deve ser repetida muitas vezes até que os procedimentos sejam devidamente memorizados.


No Facebook uma surpresa


Recentemente aprendi um interessante algoritmo para subtrair no Facebook (Figura 1). Ao invés de realizar o algoritmo tradicional para subtrair 5000 por 2384, com o famoso “pedir emprestado” – algo que é emprestado, não deve ser devolvido? –, por que não subtrair 1 unidade do minuendo e do subtraendo, obtendo 4999 – 2383? 


Figura 1 - Algoritmo não usual de subtração
Fonte: Imagens públicas da Internet 


Uma proposta para a sala de aula


Por que não explorar em sala de aula algoritmos não usuais para dividir para construir significado? Por exemplo, 65/20 pode ser calculado subtraindo 20 de 65 até obter um resto menor que 20.

65 – 20 = 45

45 – 20 = 25

25 – 20 = 5. 
Como subtraímos 20, três vezes, concluímos que 65 dividido por 20 resulta no quociente 3 e resto, 5. Que tal dividir usando um algoritmo de estimativas? Calculemos 583 dividido por 7. Estimo um número para o quociente, por exemplo: 10. Realizo a operação inversa, multiplicando meu quociente estimado (10) pelo divisor (7), obtendo o 70 que subtraio de 583. No dividendo obtemos 513. Em seguida, repetimos o processo estimando outro número no quociente. (Veja a figura 3)



Figura 2 - Algoritmos de divisão
Fonte: Imagens públicas da Internet


Em relação a divisão de frações, por que multiplicamos? A multiplicação, nesse caso, é um algoritmo preciso e poderoso. No entanto, existem outras formas de introduzir a divisão de frações para a melhor construção de significado. Comece apresentando exemplos de divisão onde os alunos podem usar o raciocínio de “quantos cabem?”. Antes de aprender divisão de frações os alunos aprenderam divisão de naturais, utilizando, dentre outras, essa forma de pensar: 20 / 4 = 5, pois cabem 5 pacotes com 4 bombons em uma caixa de 20 bombons. Então, por que não começar o ensino de divisão de frações usando o mesmo raciocínio? Por exemplo: 3/5 : 1/5 = 3, pois cabem 3 frações 1/5 em 3/5. Por que não utilizar uma tabela de frações (figura 3) para explorar divisões de 1/2 por 1/8 ou, até mesmo, 1/8 por 1/4. Nesse último caso, é possível constatar que “cabe” a metade de 1/4 em 1/8. Logo, 1/8 : 1/4 = 1/2.
Figura 3 - Comparativo de frações
Fonte: Imagens públicas da Internet 


Uma reflexão e muitas possibilidades

Acredito que introduzir o conceito de divisão de frações assim é mais simples e intuitivo. Conecta conteúdos e contribui para desfragmentar o ensino de matemática. Além disso, oferece ao professor mais possibilidades de planejar aulas com atividades lúdicas e interativas. Para saber mais acesse este link.


Pensar o ensino de matemática, em todos os aspectos relativos à nossa prática pedagógica, é um grande passo para a melhoria do ensino. Quando ensinamos um algoritmo da divisão, ensinamos uma forma de dividir, e não, necessariamente, o conceito de divisão. Acredito que o professor deva atuar mais significativamente na compreensão dos conceitos relacionados às frações, promovendo estratégias de ensino que privilegiem, no ensino de frações, o “conhecimento conceitual”. O que se observa comumente em sala de aula é o desenvolvimento do “conhecimento processual”, isto é, ensinamos algoritmos que são repetidos até sua devida memorização, mesmo que em alguns casos estes algoritmos não tenham significado.


Voltando à aula japonesa.... Na segunda metade da aula, cada grupo foi a lousa expor o algoritmo que desenvolveu. O quadro era grande, de modo que todas as soluções ficaram expostas. O professor fez ponderações sobre estes algoritmos – em nenhum momento disse “apague isso, está errado” -, comentou sobre o que estava correto, o que estava incorreto, e as vantagens e desvantagens de cada método correto. A aula teve características construtivistas e privilegiou o conhecimento conceitual. Note que durante a aula toda, a classe se concentrou em apenas um exercício. O professor rompeu o modelo de aula tradicional, expositiva, seguida de exercícios e a correção destes - Skovsmose denomina este modelo de “Paradigma do Exercício”.


Por que não atuar em sala de aula com mais atividades em grupo, menos atividades individuais?Precisamos de mais cenários de investigação (leia Skovsmose) e menos aulas expositivas. Mais tempo pensando em um problema e menos tempo executando algoritmos repetitivos. Mais Laboratórios de Matemática e menos escolas tradicionais. Mais conhecimento conceitual e menos processual. Mais educação libertadora e menos bancária. Mais pedagogia da autonomia e menos pedagogia do exame. E para finalizar, mais Freire, mais D’Ambrósio, mais Vygostsky e NUNCA Frota.

Este é um artigo convidado,  foi escrito e enviado por Rafael Novoaprofessor do IFRJ.

Prêmio Shell de Educação Científica
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Laboratório Sustentável de Matemática: Reflexões sobre a utilização dos algoritmos no ensino de matemática. Por Rafael Novoa.
Reflexões sobre a utilização dos algoritmos no ensino de matemática. Por Rafael Novoa.
Há alguns anos atrás, nas aulas do mestrado, vi um vídeo que fez, e faz, como que eu repense constantemente minha prática pedagógica. Era uma aula na qual o professor introduziria aadição de números naturais com mais de dois algarismos para alunos do ensino fundamental 1 em uma escola na zona rural japonesa. No vídeo, o professor apresentava a “conta”, uma adição com número posicionados lado a lado. A aula prosseguiu com o professor dividindo a turma em grupos e estabelecendo a tarefa: cada grupo deveria resolver aquela adição (elaborar um algoritmo para aquela operação). Os grupos começaram a trabalhar e o professor fornecia algumas orientações, sem dar respostas. A maior parte destas dicas eram fornecidas como perguntas.
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Laboratório Sustentável de Matemática
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