Explorando Pirâmides, Prismas, Cones e Cilindros com materiais concretos e uma balança doméstica. Por Daniela Mendes.

A geometria espacial é um ótimo tema a ser explorado no laboratório de matemática uma vez que a ideia da terceira dimensão nos impulsiona para fora do quadro negro e a buscar alternativas para a compreensão dos conceitos associados a este tema. Nesta oficina utilizamos sólidos geométricos de acrílico cheios de água* e uma balança caseira como suportes de nossas investigações.

A geometria espacial é um ótimo tema a ser explorado no laboratório de matemática, uma vez que a ideia da terceira dimensão nos impulsiona para fora do quadro negro e a buscar alternativas para a compreensão dos conceitos associados a este tema. Nesta oficina utilizamos sólidos geométricos de acrílico cheios de água, uma balança doméstica, papéis coloridos, tesouras e cola branca como suportes de nossas investigações do dia.

Uma balança doméstica e uma ideia na cabeça

Estou de dieta, então tenho me pesado constantemente em uma balança digital; como estou trabalhando geometria espacial na escola técnica onde leciono, sede do LSM-Matriz, fiquei me perguntando se ela não poderia ser uma das ferramentas para uma exploração dos volumes dos sólidos geométricos. Quanto mais eu pensava no assunto, mais formas pelas quais a balança juntamente com os sólidos geométricos de acrílico que temos no laboratório poderiam me auxiliar no entendimento do tema ficavam claras pra mim e as dividirei com vocês adiante neste texto.

O que é uma exploração matemática?

Uma exploração é quando o professor propõe aos alunos uma busca por regularidades e propriedades de certos conceitos matemáticos . Ao final de diversos apontamentos e discussões toda a turma discute com o professor e busca generalizar cada conceito estudado no dia.

Nossa exploração, o que é e como a fizemos

Nossa exploração se dividiu em três momentos, investigação de volumes, investigação de áreas e generalização das descobertas do dia. Para esta vivência os alunos foram organizados em grupos de 4 integrantes onde 3 deveriam coletar os dados e um deveria registrar as observações do grupo.  

1) O primeiro momento foi dedicado à investigação de regularidades entre um prisma e uma pirâmide de mesma base e altura dados e entre um cilindro e um cone  de mesma base e altura dados.

 [Nosso objetivo aqui era mostrar que a razão entre os volumes de uma pirâmide e um prisma de mesma base e altura é de 1 para 3 e o mesmo vale para o cone e o cilindro de mesma base e altura é importante salientar que isto não foi dito em nenhum momento para não atrapalhar as investigações dos alunos]. 

Nesta primeira etapa os estudantes registraram em uma folha respostas para as seguintes orientações para exploração e questionamentos:

1) Analise a base do prisma e a pirâmide dados, o que observa? 

2) Analise a altura do prisma e a pirâmide dados, o que observa?

3) Utilizando a balança digital pese o prisma e a pirâmide e anote os resultados, o que observa?

4) Repita os passos 1, 2, 3 para o cilindro  e o cone dados e anote suas observações e medições.

5) O que observa em relação ao peso do prisma e da pirâmide e em relação ao peso do cilindro e do cone? Você encontrou alguma similaridade?

Alunos explorando os materiais e coletando dados

Atenção!

Para a pesagem dos sólidos utilizamos uma bandeja (uma vez que trabalhamos com sólidos cheios de água, e portanto sujeitos a vazamentos e danificação do equipamento eletrônico utilizado) que não alterou a nossa pesagem, pela baixa sensibilidade da balança, como se pode ver abaixo:

Balança pronta para a pesagem

Pesagens feitas pelos alunos

 2) O segundo momento foi dedicado à construção de sólidos geométricos trabalhados no dia. Aqui propusemos um único questionamento: como você calcularia a área do sólido que está construindo?

Sólidos construídos pelos alunos

 3) O terceiro momento é o que chamamos de:Amarrando as ideias, onde discutimos as observações e dados coletados pelos grupos; e enquanto discutimos, as observações dos alunos vão sendo registradas no quadro e juntos vamos generalizando os conceitos conforme eles se apresentam.   

 Generalizações alcançadas: Amarrando as ideias

Ao final da discussão compreendemos juntos que:

1) Que base e a altura do prisma (esse resultado só era válido com o prisma em pé pois ele deitado tinha outra base e outra altura que nada tinha a ver com a pirâmide) e da pirâmide eram iguais e o mesmo acontecia para o cone e o cilindro.

2) Que  o volume do cilindro e do prisma dados eram 3 vezes maiores, aproximadamente, que os volumes dos cone e pirâmide dados respectivamente. 

3) Que a área total de qualquer sólido construído era igual à soma das áreas da sua planificação.

Considerações finais

Neste tipo de atividade lidamos com aproximações que são necessárias à imprecisão dos instrumentos de medida e do olho humano uma vez que quando utilizamos matemática para traduzir uma realidade nos deparamos com estas situações o tempo todo não só durante a vivência mas também durante a nossa vida! Outra vantagem desta abordagem é o fato de que o aluno ao explorar o material e discutir esta exploração com seus pares pode relacionar seu conhecimento matemático com o do colega para dar conta dos problemas surgidos na investigação chegando cheio de observações a fazer e a apresentar ao momento final da oficina que é o de generalizar as ideias exploradas no dia, isto rompe com a ideia (que não está dando certo uma vez que o desempenho deste país na Matemática tem sido um dos piores do planeta segundo o PISA) de que o professor deve transmitir o conhecimento e o aluno deve receber este conhecimento. Ao contrário, o final desta aula é pleno de troca de ideias entre os participantes e de construção do significado do que foi estudado.

Update: É importante destacar que desprezamos o peso das embalagens e que trabalhamos com a relação padrão: 1dm³ de água= 1kg.

Update 2: Destacamos também que o verbo pesar nesta aula segue o sentido coloquial utilizado no dia a dia, sugerimos que para finalizar esta aula seja feita uma discussão sobre um vídeo de 9 minutos que esclarece os conceitos de peso, massa e densidade e que pode ser acessado neste link.