Ao longo de minha vida enquanto professora, tenho visto inúmeras formas de abordar a regra de sinais para a multiplicação e para a divisão. Entretanto, todas as maneiras que encontrei de alguma forma esbarravam na "mágica" sinais iguais é mais e sinais diferentes é menos que eu tinha decorado, mas nunca tinha entendido. Lendo o livro Números Inteiros de Victor Giraldo eu finalmente compreendi de vez este assunto e hoje divido com você esta compreensão, vamos entender a regra de sinais para a multiplicação e a divisão de uma vez por todas?
Ao longo de minha vida enquanto professora, tenho visto inúmeras formas de abordar a regra de sinais para a multiplicação e para a divisão. Entretanto, todas as maneiras que encontrei, de alguma forma esbarravam na "mágica": sinais iguais é mais e sinais diferentes é menos, que eu tinha decorado em outras épocas, mas nunca tinha entendido. Lendo o livro Números Inteiros (de Victor Giraldo, Cydara Ripoll e Letícia Rangel) eu finalmente compreendi de vez este assunto e hoje divido com você esta compreensão. Vamos entender a regra de sinais para a multiplicação e a divisão de uma vez por todas?
Dos Naturais nascem os Inteiros
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| O nascimento dos inteiros |
A partir do conjunto dos números naturais que tem orientação para a direita e infinitos termos nesta direção é possível criar, com um espelho, o conjunto dos números inteiros que são números com a mesma característica dos elementos do conjunto dos naturais com uma orientação diferente. Ou seja, enquanto os naturais crescem um a um em direção ao mais infinito; quando tomamos o zero como referencial e refletimos os naturais para a esquerda, passamos a ter números que crescem um a um em direção ao menos infinito. Como estes números refletidos são diferentes dos naturais, pois tem uma direção diferente, é necessário diferenciá-los destes. Ora, como os naturais são positivos, seus números opostos (refletidos no espelho) são nomeados como negativos. Desta forma, na reunião de números inteiros positivos, negativos e o neutro zero temos o conjunto dos elementos dos números inteiros.
Um número oposto é uma reflexão
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| Números opostos são reflexões na reta Fonte da imagem: Portal do professor |
Nos inteiros, um número negativo é o reflexo de um número positivo e vice versa, vejamos. Quando tínhamos apenas números naturais (positivos e o neutro zero) usamos o zero como referência para criar os números negativos e criamos a seguinte situação: o reflexo de 1 é -1 e o reflexo de -1 é 1, o reflexo de 2 é -2 e o reflexo de -2 é 2. Generalizando podemos dizer que o reflexo de a é -a e vice versa. Ora, a partir deste raciocínio podemos dizer que a relação entre números opostos é uma reflexão na reta! Então:
Desvendando o mistéeeerio
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| Opostos e reflexão Fonte da imagem: Adaptado de Aprende Livre |
Usando a ideia de reflexão na reta podemos compreender, de fato, a tão temida regra de sinais para a multiplicação e divisão
- - (+1) pode ser lido como: qual é o oposto de +1, sabemos que é o -1 e é por isso que - . + é -
- - (-1) pode ser lido como: qual é o oposto de -1, sabemos que é o +1 e é por isso que -. - é +
- + (+1) o + é uma manutenção de direção, que já havia desde os naturais. Ou seja, o + não altera a direção e, portanto, + . + = +
Ao infinito e além
Agora que compreendemos a multiplicação por -1 como uma reflexão na reta, podemos nos perguntar o que acontece se tivermos (-2). (+2)? Ora, neste caso é importante reescrevermos esta expressão, assim:
- [(-1) . (+2)]. (+2), aqui reescrevi -2 como [(-1).(+2)];
- (-1) . [(+2). (+2)], aqui reescrevi desta forma para destacar a operação [(+2). (+2)].
Na reta abaixo, a operação [+2). (+2)] (que é uma dilatação) resulta em 4 , como é possível ver na figura abaixo:
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| Duas vezes 2 resulta em 4 |
Desta maneira: (-1) . [+2). (+2)] = (-1) . (+4), que pode ser reescrito como - (+4) e entendido como: qual é o oposto de +4. Ora, sabemos que o oposto de +4 é -4 ( temos aqui uma reflexão). Portanto, como é possível ver abaixo, temos:
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| Refletindo +4 e achando a solução |
Logo, a resposta -4 é a combinação de uma dilatação com uma reflexão.
Mas, e a divisão?
A regra de sinais é a mesma para a divisão; sendo que, no caso da divisão de inteiros, ao invés de dilatação teremos uma contração, veja no exemplo:
(+2) : (-2), reescrevendo usando a mesma ideia acima desenvolvida temos:(+2): [(+2). (-1)], reescrevendo temos [(+2): (+2)] . (-1), resolvendo [(+2): (+2)] teremos:
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| Dividindo 2 por 2 |
Daí, podemos observar que dois dividido em dois nos levou a fazer uma contração, pois o resultado é 1, daí temos que: [(+2): (+2)] . (-1) = 1. (-1) = - (+1). O que nos leva à perguntar qual é o oposto de +1. A resposta a esta pergunta vemos abaixo:
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| Refletindo +1 |
Logo, a resposta para (+2) : (-2) é uma composição de uma contração e uma reflexão e é igual a -1.
Considerações Finais
Utilizar a reflexão da reta pode facilitar muito o entendimento do tema de hoje! Leve esta ideia para a sua sala de aula você também! E nos conte como foi esta experiência nos comentários!!! Vamos juntos!
