Trigonometria no triângulo retângulo: Razões trigonométricas são razões equivalentes!!!! #ProntoFalei! Por profª Daniela Mendes

Um dos temas a serem trabalhados no segundo bimestre em minhas turmas é a trigonometria no triângulo retângulo. Tendo isto em vista, preparei uma sequência didática na qual vivenciamos atividades diversas visando o entendimento progressivo do conceito dentro do raciocínio proporcional

Um dos temas a serem trabalhados no segundo bimestre em minhas turmas é a trigonometria no triângulo retângulo. Tendo isto em vista, preparei uma sequência didática na qual vivenciamos atividades diversas visando o entendimento progressivo do conceito dentro do raciocínio proporcional. Neste post, estamos tratando de ângulos de 0 a 90º.

No primeiro momento (duas aulas, ou seja, 100 minutos), exploramos as frações equivalentes através da investigação de uma receita de superbolhas; 

Figura 1:Razões proporções e super bolhas

No segundo momento (duas aulas, ou seja, 100 minutos), medimos alturas inacessíveis com o teodolito  e com as razões trigonométricas disponíveis nos smartphones dos alunos; 

Figura 2: Razões trigonométricas na prática com o teodolito

No terceiro momento (duas aulas, ou seja, 100 minutos), amarramos as ideias exploradas nos dois primeiros momentos e estudamos as  razões trigonométricas como razões equivalentes em triângulos semelhantes. Esta postagem é dedicada ao terceiro momento.

Razões trigonométricas são Razões equivalentes

O caso da tangente e seu ângulo notável de 45º

As razões trigonométricas nada mais são do que "razões equivalentes" em classes de triângulos semelhantes. 

Veja o caso da classe dos triângulos retângulos que têm seus ângulos internos agudos medindo 45º. Ora, para estabelecer esta classe de equivalência de triângulos retângulos basta sabermos da existência de apenas um ângulo interno de 45º nos triângulos retângulos considerados, pois como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º*, o terceiro ângulo interno deverá, obrigatoriamente, ser de 45º. 

Aliás, esta classe de triângulos semelhantes que tem como ângulos internos 45º, 45º e 90º tem uma característica muito interessante, que é a de que sempre que você divide o cateto oposto a qualquer dos ângulos de 45º pelo cateto adjacente a este mesmo ângulo, sempre obtemos razões equivalentes nas quais o numerador é igual ao denominador, ou seja, é igual a 1 (vide figura 3)! Esta relação (a divisão do cateto oposto a um ângulo qualquer pelo cateto adjacente resultar em um valor constante) sempre acontece e é por isso que recebeu um nome (tangente) e é por isso que vemos, por exemplo,  na tabela trigonométrica que tangente de 45º=1.

Apenas o ângulo de 45º apresenta uma condição muito especial  na qual  o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente ser  exatamente o número 1, isto só acontece nesta classe de triângulos semelhantes, nas demais o resultado será diferente, pois a tangente assim como outras razões trigonométricas para cada ângulo é única e constante. É por ter o valor igual a 1,  que 45º é um ângulo notável!

Figura 3: Tangente de 45º

Em outras classes de equivalência de triângulos retângulos (por exemplo, um triângulo com ângulos internos 20º, 70º e 90º) e fixando um ângulo agudo deste triângulo, por exemplo 20º você também terá razões equivalentes sempre que dividir o cateto oposto pelo cateto adjacente. Mas esta divisão nunca terá como resultado o número 1, é por isso que a classe de equivalência dos triângulos retângulos que tem o 45º como ângulo interno é tão especial.

 O caso do seno e seu ângulo notável de 30º

Veja o caso da classe dos triângulos retângulos que têm um de seus ângulos internos agudos medindo 30º. Ora, para estabelecer esta classe de equivalência de triângulos retângulos basta sabermos da existência de apenas um ângulo interno de 30º nos triângulos retângulos considerados, pois como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º*  o terceiro ângulo interno deverá, obrigatoriamente, ser de 60º. 

Aliás, esta classe de triângulos semelhantes que tem como ângulos internos 30º, 60º e 90º tem uma característica muito interessante que é a de que, quando você fixa o ângulo de 30º e determina seu cateto oposto, a hipotenusa sempre mede o dobro deste!

Por isso, que você divide o cateto oposto ao ângulo de 30º pela Hipotenusa do triângulo, sempre obtemos razões equivalentes nas quais o numerador é igual à metade do denominador (vide figura 4)! Essa relação (a divisão do cateto oposto a um ângulo qualquer pela hipotenusa resultar em um valor constante) é tão característica que recebeu o nome de seno e é por isso, por exemplo, que vemos na tabela trigonométrica que seno de 30º=1/2, em 30º esta é uma condição muito especial (a hipotenusa medir exatamente o dobro do cateto oposto)  e é por isso que 30º é um ângulo notável! 

Figura 4: seno de 30º(estamos trabalhando aqui com uma aproximação)

Em outras classes de equivalência de triângulos retângulos (por exemplo, um triângulo com ângulos internos 20º, 70º e 90º), fixando um ângulo agudo deste triângulo, por exemplo 20º você também terá razões equivalentes sempre que dividir o cateto oposto pela hipotenusa. Mas esta divisão nunca terá como resultado uma fração do tipo denominador=dobro do numerador se fixarmos ângulos diferentes de 30º para a nossa análise, é por isso que a classe de equivalência dos triângulos retângulos que tem o 30º como ângulo interno é tão especial. 

O caso do cosseno e seu ângulo notável de 60º

Veja o caso da classe dos triângulos retângulos que têm um de seus ângulos internos agudos medindo 60º. Ora, esta é a mesma classe de equivalência da anterior. Aliás, esta classe de triângulos semelhantes (que tem como ângulos internos 30º, 60º e 90º) tem outra característica muito interessante que é a de que, quando você fixa o ângulo de 60º e determina seu cateto adjacente, a hipotenusa sempre mede o dobro deste, esta relação (a divisão do cateto adjacente a um ângulo qualquer pela hipotenusa resultar em um valor constante) é tão especial que ganhou o nome de cosseno! Em relação a 60º a hipotenusa mede exatamente o dobro do cateto adjacente, isto faz com que o ângulo de 60º também seja notável! Isto acontece pois o cateto oposto de 30º é o cateto adjacente de 60º, uma vez que eles fazem parte da mesma família de triângulos retângulos semelhantes!

Figura 5: cosseno de 60º(estamos trabalhando aqui com uma aproximação)

Para outras classes de equivalência de triângulos retângulos continua valendo o fato de que a divisão do cateto adjacente pela hipotenusa gera razões equivalentes para qualquer ângulo e triângulo de qualquer família de triângulos equivalentes. Mas nenhuma destas terá esta característica única (hipotenusa=dobro do cateto adjacente) da família que contém o ângulo de 60º.

Considerações finais

Abordar a trigonometria em sala de aula, explicando a origem das fórmulas, que normalmente decoramos no ensino tradicional,  levantou questionamentos e observações não usuais dos alunos, como por exemplo: "O que exatamente é um seno?" (aluna A);"Ok, entendi que a tangente do ângulo alfa é 3,2, mas o que isso significa de fato?" (aluno A).

Explicar as razões trigonométricas pelas classes de equivalência de triângulos e pelas razões equivalentes para divisões dos mesmos lados em relação a um ângulo qualquer contribuiu para que estes mesmos alunos entendessem que isto é um padrão e, ao final da aula, as suas falas eram "Ah professora, então estas razões são coisas que sempre se repetem!"(Aluno B), "É por isso que a minha calculadora "sabe" que o seno de 30º é 0,5!"(aluna F).

A partir desta abordagem, os alunos se sentiram muito mais confiantes na hora de resolver os exercícios propostos** e também a buscar seus próprios caminhos para a resolução dos mesmos. 

*Na geometria plana.

** Livro Gelson Iezzi, 1º ano.