Briggs e Napier, no início do século XVII, observaram que era possível operar com os expoentes de potências. Ou seja, transformar multiplicações e divisões de potências em adições e subtrações de expoentes para encontrar o resultado da potência. Vamos a um exemplo: Ao invés de multiplicar 4x8 e obter 32, é muito mais fácil reescrever estes números na forma 2².2³ e, usando a propriedade da soma dos expoentes, somar 2+3=5 e obter a potência 2 elevado a 5= 32. Da mesma forma, ao invés de dividir diretamente números, basta reescrevê-los em forma de potência e subtrair seus expoentes. Esta observação se constituiu em uma revolução tecnológica, uma vez que esta descoberta permitiu que os cálculos dos grandes números com os quais os astrônomos lidam fossem facilitados, permitindo avanços inquestionáveis.
Nossos alunos tem medo dos logaritmos, isto é um fato com o qual nos deparamos a cada vez que precisamos trabalhar este tema em sala de aula. Encontramos, em uma crônica de Carlos Heitor Cony, uma tradução para o inconsciente coletivo que explicita a pouca familiaridade das pessoas em geral com os logaritmos na qual ele diz que, "Minhas relações com as Matemáticas nunca foram boas – e exagero ao falar em Matemáticas, no plural e na maiúscula. Nem mesmo a elementar aritmética privou de muita intimidade com meu impenetrável cérebro. Por todos os chamados bancos escolares que lustrei em minhas andanças, sempre deixei a merecida fama de refratário aos números, às operações, às frações e às regras de três. Não cito os logaritmos porque seria um escárnio de minha parte mencionar tais entidades[...]" (CONY, 2005, p 13-14). e que exemplifica algumas reações de nossos estudantes ao tema.
O que são logaritmos afinal?
Briggs e Napier, no início do século XVII, observaram que era possível operar com os expoentes de potências. Ou seja, transformar multiplicações e divisões de potências em adições e subtrações de expoentes para encontrar o resultado da potência. Vamos a um exemplo: Ao invés de multiplicar 4x8 e obter 32, é muito mais fácil reescrever estes números na forma 2².2³ e, usando a propriedade da soma dos expoentes, somar 2+3=5 e obter a potência 2 elevado a 5= 32. Da mesma forma, ao invés de dividir diretamente números, basta reescrevê-los em forma de potência e subtrair seus expoentes. Esta observação se constituiu em uma revolução tecnológica, uma vez que esta descoberta permitiu que os cálculos dos grandes números com os quais os astrônomos lidam fossem facilitados, permitindo avanços inquestionáveis.
Entendendo melhor esta ideia
Funções exponenciais e logarítmicas são inversas, isto significa que a imagem de uma é o domínio da outra e vice versa, como podemos observar no gráfico abaixo.
Funções Exponenciais transformam somas em multiplicações, observe que se no domínio da função y=2 elevado a x temos {1,2,3,4,5,...}, a sua imagem será {2,4,8,16,32,...}. Observe que a primeira é uma P.A. de razão 1 e a segunda é uma P.G. de razão 2. Podemos observar o comportamento desta função no gráfico abaixo.
Já Funções Logarítmicas transformam multiplicações em somas, observe que se no domínio da função y=log de x na base 2 temos {2,4,8,16,32,...}, a sua imagem será {1,2,3,4,5,...}. Observe que a primeira é uma P.G. de razão 2 e a segunda é uma P.A. de razão 1. Podemos observar o comportamento desta função no gráfico abaixo.
De posse destas informações, podemos comparar a P.A. e a P.G. consideradas,
Observamos que, quando multiplicamos os termos da P.G. das colunas 6 e 7, por exemplo, obtemos como resultado o valor que fica na mesma coluna da soma dos termos da P.A. das referidas colunas e o mesmo vale para divisões entre termos da P.G. e subtrações dos respectivos termos da P.A. Então qual é a relação? Isto é possível pois existe uma base de uma potência que elevada ao termo da P.A. é igual ao termo da P.G.da mesma coluna. A partir da análise do quadro acima fazemos a seguinte generalização: A base 2 elevada ao termo da P.A. é igual ao termo da P.G.. Escrevendo tal afirmação em escritura algébrica, temos: se nomearmos o termo da P.G. de “a” e o termo da P.A. de “x” temos 2 elevado a x=a.
E se testarmos outras tabelas podemos ampliar essa generalização, substituindo o 2 para uma base qualquer que chamamos de b, encontrando a seguinte equação exponencial: b elevado a x=a. Mas, e como surge o logaritmo neste contexto? Logaritmo é o nome que John Napier deu aos expoentes de uma potência, ou seja, logaritmo é um expoente (PAIVA, 2009). Vendo desta maneira alcançamos uma generalização do próprio logaritmo, ou seja, é possível reescrever a equação exponencial b elevado a x=a de forma que o logaritmo se apresente (IEZZI, 2010).
Reescrevendo b elevado a x=a em língua natural, temos: Uma base b, elevada a um logaritmo é igual a um número a. Podemos escrever b elevado a x=a como log b a = x que significa a mesma coisa, ou seja, que o expoente (logaritmo) de um número a em uma base b é igual a x. Assim: em log de a na base b, o expoente leva o nome de logaritmo, o número a recebe o nome de logaritmando e o número b recebe o nome de base (temos literalmente aqui que a base do logaritmo é a base da potência que elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando).
Por definição, log de a na base b tem algumas restrições que consistem na base b ser maior que zero e diferente de um e que o logaritmando seja maior que zero. Apresentamos adiante alguns cenários visando explorar e ilustrar estas limitações:
Cenário 1: Base igual a um: Não existe vantagem em estabelecermos uma base igual a 1 pois, seja qual for o expoente, o logaritmando é sempre igual a 1. Desta forma chegamos ao caso único log de 1 na base 1, o que não nos leva a lugar algum. Sendo este o motivo pelo qual existe a restrição para a base unitária.
Cenário 2: Base igual a zero. Para compreender esta base propomos a tabela abaixo:
Observando as duas linhas da tabela acima vemos que para o termo zero elevado a zero, temos uma indeterminação, isto significa que não há resposta para esta operação. Em expoentes negativos também identificamos um problema, pois estes nos levam à divisão por zero; divisão esta que é indefinida, ou seja, não existe. Assim sendo, a base de um logaritmo não pode ser igual a zero.
Cenário 3: Base negativa: não existe resposta para log de base -a pois não obstante existam expoentes que transformem essa base –a em um logaritmando a em alguns casos, como por exemplo :log de 4 na base -2 = x. Ou seja, se x for igual a 2 a relação é válida pois (-2)² = 4 (o expoente par garante o sinal positivo do logaritmando). Entretanto, como em Matemática basta um contraexemplo para invalidar uma relação, destacamos aqui que isto não acontece para log 8 na base -2= x, pois (-2)³=-8 (expoentes ímpares conservam o sinal da base). Este contraexemplo: log 8 na base -2= x inviabiliza a possibilidade da existência de uma base menor que zero, portanto.
Cenário 4: Logaritmando igual a zero: observe que não é possível resolver log de 0 na base a, uma vez que não existe número real que elevado a outro número real qualquer resulte em zero. A única "possibilidade" poderia ser a própria base ser igual a zero mas isso nos levaria a 0 elevado a 0 que é uma indeterminação. Isto inviabiliza a possibilidade da existência de um logaritmando nulo e também a própria base igual a zero. Um exemplo numérico para este cenário é log de 2 na base zero = x, daqui é possível observar que não existe resposta possível para esta situação, uma vez que não existe nenhum expoente que transforme zero em 2.
Cenário 5: logaritmando negativo: observe que não existe resposta para log de -a na base b, pois não existe um expoente que transforme essa base b no logaritmando -a, inviabilizando a possibilidade da existência deste. Um exemplo numérico seria log de -8 na base 2= x. Observe que não há nenhum expoente que transforme 2 em -8, nem mesmo o expoente -3, que o transformaria e 1/8, o que de modo algum corresponde a -8.
Considerações finais
Entender os porquês do que ensinamos é importante para definir como ensinamos o que ensinamos. Sempre que nos aprofundamos em um assunto, passamos a ter uma visão mais ampla deste, o que enriquece a nossa prática em sala de aula. Todas as referências utilizadas neste artigo estão disponíveis neste link e uma sugestão para o ensino de logaritmos por comparação de sequências pode ser baixada gratuitamente neste link.
