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Dedução dos cálculos das áreas de figuras planas com o GeoGebra.

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Calcular a área de figuras planas é muito mais do que aplicar um receituário de fórmulas prontas.

Calcular a área de figuras planas é muito mais do que aplicar um receituário de fórmulas prontas. Neste post vamos utilizar o GeoGebra para deduzir o cálculo da área de quaisquer polígonos convexos. Para todos os cálculos usaremos unidades de superfície quadradas de medida um², tendo estas unidades de superfície como referência.

Polígono convexo e polígono não convexo

 

Para começar, vamos relembrar a diferença entre polígonos convexos e não convexos.

Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poligonos-convexos.htm

Área do quadrado

Para deduzir o cálculo da área do quadrado, proponho aqui a exploração do apllet, de autoria de Jorge Cássio, abaixo:

Nele é possível deduzir o cálculo da área do quadrado com a ideia de ladrilhamento com unidades de superfície quadradas e que se perceba que não é necessário contar quadradinho por quadradinho para obter a área total e sim que basta multiplicar a quantidade de quadradinhos da base pela quantidade de quadradinhos da altura, e como os quadradinhos tem medidas unitárias de lado, chegamos ao cálculo da área do quadrado igual a base x altura, o que pode ser estendido para o retângulo, o qual segue a mesma lógica. Link para o applet  aqui.

Área do paralelogramo 

Para deduzir o cálculo da área do paralelogramo proponho aqui a exploração do apllet abaixo:


Nele é possível calcular a área do paralelogramo por meio da manipulação de pedaços dele, formando um retângulo. Neste aplicativo é possível reposicionar partes do paralelogramo em uma moldura retangular, mostrando que a área do paralelogramo pode ser calculada pela multiplicação de base x altura. O link para o applet pode ser acessado aqui.

Área do Trapézio

Para deduzir a área do trapézio proponho a exploração do applet abaixo:

 


Nele é possível calcular a área do trapézio por meio da manipulação de dois trapézios congruentes que juntos formam um retângulo. Neste aplicativo é possível reposicionar dois trapézios congruentes em uma moldura retangular, de forma a que a base do retângulo passe a ser dada pela soma da base maior mais a base menor do trapézio e a altura do retângulo é exatamente a mesma altura do trapézio. Assim sendo, a área do retângulo da moldura passa a ser calculada por (base maior+base menor) x altura e como queremos a área de apenas um trapézio, e o retângulo tem 2 iguais, iremos dividir esta área por 2, chegando à àrea do trapézio que pode ser calculada por (base maior+base menor) x altura/2. O link para o applet pode ser acessado aqui.

Área do losango

 Para deduzir a área do losango proponho a exploração do applet abaixo:


Nele é possível calcular a área do losango por meio da manipulação de dois losangos congruentes que juntos formam um retângulo. Neste aplicativo é possível reposicionar um losango e partes de um segundo losango, sendo ambos losangos congruentes, em uma moldura retangular, de forma a que a base do retângulo passe a ser dada pela diagonal 2 e a altura do retângulo seja dada pela diagonal 1. Assim sendo, a área do retângulo da moldura passa a ser calculada por (diagonal 2) x (diagonal 1) e como queremos a área de apenas um losango, e o retângulo tem 2 iguais, iremos dividir esta área por 2, chegando à àrea do losango que pode ser calculada por (diagonal 2) x (diagonal 1)/2. O link para o applet pode ser acessado aqui.

Área do triângulo

 Para deduzir a área do triângulo proponho a exploração do applet abaixo:


 
Nele é possível calcular a área do triângulo por meio da manipulação de dois triângulos congruentes que juntos formam um retângulo. Neste aplicativo é possível reposicionar dois triângulos congruentes em uma moldura retangular. Como queremos a área de apenas um triângulo, e o retângulo tem 2 iguais, iremos dividir esta área por 2, chegando à àrea do triângulo que pode ser calculada por base x altura/2. O link para o applet pode ser acessado aqui.
 

Área de qualquer polígono convexo

 
Qualquer polígono convexo pode ser decomposto em triângulos, portanto, basta, para calcular as áreas de quaisquer polígonos, decompô-los em triângulos e calcular suas áreas somando as áreas dos triângulos neles contidos. 

Área do círculo

Veja que para que se obtenha a área do círculo sem que se conheça o valor de pi, é possível utilizar o método da exaustão de Arquimedes e Euclides (pi não existia na sua época). Veja que quanto maior o número de lados do polígono, mais a sua área se aproxima da área do círculo. Para que o método da exaustão forneça a área exata do círculo, o polígono deveria ter um número infinito de lados. Veja que interessante, uma forma com área finita e um número infinito de lados!!!

Fonte: Cálculo para quem não é CDF


Mas hoje, como temos conhecimento do valor de pi, para deduzir a área do círculo proponho a exploração do applet, de autoria de Jorge Cássio, abaixo:

Nele é possível calcular a área do círculo fatiando-o em vários pedaços passando pelo centro do círculo, estas fatias são colocadas lado a lado, uma para cima e outra para baixo, e quanto mais fatias temos, mais próxima de um retângulo essa figura rearranjada fica. Veja que a altura é o raio r do círculo e a base é o semiperímetro da circunferência Pi.r. Fazendo o cálculo da área deste retângulo, isto nos leva ao cálculo da área do círculo que é Pi x r². Este applet pode ser acessado aqui

Considerações finais

Por meio desta atividade é possível deduzir com seus alunos o cálculo das áreas de quaisquer polígonos, até mesmo do polígono de infinitos lados (o círculo). Trata-se de uma atividade muito interessante e que vai auxiliar o seu aluno a construir o conceito de cálculo de áreas de polígonos. Experimente!!!

Autora deste artigo

Daniela Mendes é doutora pelo programa de pós graduação em Ensino de Matemática da UFRJ, leciona Matemática no Ensino Médio e instrumentação para o ensino de Matemática no Ensino Superior. É também professora dos cursos de formação continuada da Fundação CECIERJ para  professores de Matemática.  Coordena, desde 2014, o projeto Laboratório Sustentável de Matemática.


Prêmio Shell de Educação Científica
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Laboratório Sustentável de Matemática: Dedução dos cálculos das áreas de figuras planas com o GeoGebra.
Dedução dos cálculos das áreas de figuras planas com o GeoGebra.
Calcular a área de figuras planas é muito mais do que aplicar um receituário de fórmulas prontas.
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