Olá pessoal, na 3ª série do Ensino Médio, no ensino híbrido do Hebe, estamos iniciando o estudo dos números complexos. Partimos dos números ...
Olá pessoal, na 3ª série do Ensino Médio, no ensino híbrido do Hebe, estamos iniciando o estudo dos números complexos. Partimos dos números reais, que são os números conhecidos pelos estudantes para depois adentrarmos no tema da aula propriamente dito e finalizamos a aula com uma animação ilustrativa programada no Scratch.
Um flashback dos números reais
Relembramos as duas naturezas existentes nos números reais, com a MusiCalcolorida (clique aqui para mais detalhes sobre esta ferramenta).
Os números reais têm duas naturezas, os números racionais (os quais podem ser escritos em forma de fração, ou seja, na forma a/b com a e b inteiros e b diferente de zero) e os números irracionais (os quais não podem ser escritos em forma de fração).
Os números racionais, podem ter representação decimal finita, como na figura abaixo (os quadradinhos coloridos se referem à parte decimal do número, cada algarismo de 0 a 9 tem uma cor dada pelo aplicativo).
Pi, por exemplo, é um número irracional, a sua expansão decimal é não periódica e, como é infinita, é possível encontrar qualquer combinação de algarismos que se queira nela, em sala de aula experimentamos isto com o atractor (clique aqui para fazer uma viagem ao interior de pi).
Relembramos que os números reais compõe a reta real e recordamos que nossos movimentos com os números reais estão limitados à translações e reflexões na reta real.
Por exemplo, 3+5 = 8 é uma translação 5 casas a direita de 3, o que resulta em 8. (-1) x(-1)=1 é uma reflexão de 180º em que você sai da reta e chega na própria reta (saiba mais sobre o assunto clicando aqui).
Veja que, nos números reais, não é possível a solução de x²=-1, por exemplo. Uma vez que não existe nenhum número real que multiplicado por si mesmo seja igual a -1.
Girando no plano com o número imaginário
Com os números complexos recobrimos o plano, veja que um novo movimento passa a ser possível, ou seja, as rotações (outros movimentos são possíveis com os complexos, mas eles não estão no foco desta aula). Destacamos também para os estudantes que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais.
Os números complexos nos trazem o número imaginário i, trata-se do número que multiplicado por si mesmo é igual a -1. Multiplicar por um número imaginário i é fazer uma rotação de 90º no plano, no sentido anti-horário.
Vamos ao plano de Argand-Gauss para ver isto. Veja que este giro de 90º no sentido anti-horário permite que i x i, ou seja, i², seja igual a -1 (em vermelho, na figura abaixo).
Girando e transladando um gatinho no Scratch
Usei o Scratch para mostrar os dois movimentos que foram foco da aula, a translação nos reais e os giros nos complexos. Mostrei para os estudantes como é fácil, no Scratch, programar usando blocos e fiz um gatinho girar no plano e transladar-se na reta para ilustrar as ideias que trabalhamos na aula. Mas o que é o Scratch?
Programei o gatinho para girar no plano e transladar na reta com um clique. Abaixo você vê a programação feita por mim para esta aula.
O resultado desta programação você pode conferir neste vídeo de 22 segundos abaixo:
