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Estudando o número imaginário com o Scratch

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Olá pessoal, na 3ª série do Ensino Médio, no ensino híbrido do Hebe, estamos iniciando o estudo dos números complexos. Partimos dos números ...

Olá pessoal, na 3ª série do Ensino Médio, no ensino híbrido do Hebe, estamos iniciando o estudo dos números complexos. Partimos dos números reais, que são os números conhecidos pelos estudantes para depois adentrarmos no tema da aula propriamente dito e finalizamos a aula com uma animação ilustrativa programada no Scratch.



Um flashback dos números reais

Relembramos as duas naturezas existentes nos números reais, com a MusiCalcolorida (clique aqui para mais detalhes sobre esta ferramenta).

Os números reais têm duas naturezas, os números racionais (os quais podem ser escritos em forma de fração, ou seja, na forma a/b com a e b inteiros e b diferente de zero) e os números irracionais (os quais não podem ser escritos em forma de fração).

Os números racionais, podem ter representação decimal finita, como na figura abaixo (os quadradinhos coloridos se referem à parte decimal do número, cada algarismo de 0 a 9 tem uma cor dada pelo aplicativo).


Os números racionais podem ter representação decimal infinita e periódica, como na figura abaixo  (os quadradinhos coloridos se referem à parte decimal do número, cada algarismo de 0 a 9 tem uma cor dada pelo aplicativo).



Já os números irracionais, tem representação decimal infinita e não periódica, como na figura abaixo  (os quadradinhos coloridos se referem à parte decimal do número, cada algarismo de 0 a 9 tem uma cor dada pelo aplicativo).


Pi, por exemplo, é um número irracional, a sua expansão decimal é não periódica e, como é infinita, é possível encontrar qualquer combinação de algarismos que se queira nela, em sala de aula experimentamos isto com o atractor (clique aqui para fazer uma viagem ao interior de pi).

Relembramos que os números reais compõe a reta real e recordamos que nossos movimentos com os números reais estão limitados à translações e reflexões na reta real. 

Por exemplo, 3+5 = 8 é uma translação 5 casas a direita de 3, o que resulta em 8. (-1) x(-1)=1 é uma reflexão de 180º em que você sai da reta e chega na própria reta (saiba mais sobre o assunto clicando aqui).

Veja que, nos números reais, não é possível a solução de x²=-1, por exemplo. Uma vez que não existe nenhum número real que multiplicado por si mesmo seja igual a -1.

Girando no plano com o número imaginário

Com os números complexos recobrimos o plano, veja que um novo movimento passa a ser possível, ou seja, as rotações (outros movimentos são possíveis com os complexos, mas eles não estão no foco desta aula). Destacamos também para os estudantes que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais.

Os números complexos nos trazem o número imaginário i, trata-se do número que multiplicado por si mesmo é igual a -1. Multiplicar por um número imaginário i é fazer uma rotação de 90º no plano, no sentido anti-horário. 

Vamos ao plano de Argand-Gauss para ver isto. Veja que este giro de 90º no sentido anti-horário permite que i x i, ou seja, i²,  seja igual a -1 (em vermelho, na figura abaixo).


Girando e transladando um gatinho no Scratch

Usei o Scratch para mostrar os dois movimentos que foram foco da aula, a translação nos reais e os giros nos complexos. Mostrei para os estudantes como é fácil, no Scratch, programar usando blocos e fiz um gatinho girar no plano e transladar-se na reta para ilustrar as ideias que trabalhamos na aula. Mas o que é o Scratch?


Programei o gatinho para girar no plano e transladar na reta com um clique. Abaixo você vê a programação feita por mim para esta aula.



O resultado desta programação você pode conferir neste vídeo de 22 segundos abaixo:


Considerações finais

Os estudantes realmente perceberam que com os números reais estamos limitados à reta real e que com os números complexos alcançamos o plano. Finalizar a aula com uma animação feita no Scratch deixou os estudantes muito animados e interessados não só no tema da aula, mas também em aprender a fazer as suas próprias programações usando este aplicativo, o que pode auxiliar no desenvolvimento do seu pensamento. Para aprender como usar o Scratch recomendamos um curso gratuito disponível neste link.

Autora deste artigo

Daniela Mendes é doutora pelo programa de pós graduação em Ensino de Matemática da UFRJ e leciona Matemática no Ensino Médio e no Ensino Superior . É também professora dos cursos de formação continuada da Fundação CECIERJ para  professores de Matemática.  Coordena, desde 2014, o projeto Laboratório Sustentável de Matemática.
Prêmio Shell de Educação Científica
Nome

Atividades Matemáticas,1,Autor Convidado,4,Avaliação diferenciada,8,Clipping LSM,41,Como fazer,13,Didática & Matemática,34,Divulgação,4,Eco-notícias,4,Educação Matemática Crítica,1,Ensaios,21,Ensino Fundamental Anos Finais,1,Ensino Médio,1,Ensino Remoto,28,Eventos,30,Experimentos,10,Galeria de Vídeos,1,Jogos,12,Jormat,1,Livros LSM,6,Logaritmos,1,LSM-CIEP 111,2,Matemática é Ciência,1,Matemática e sustentabilidade,2,Matemática e Tecnologia,3,Matemática Inclusiva,3,Matemática para os anos iniciais,12,Metodologias diferenciadas,1,Objetos de aprendizagem,31,Palestras & Formações,42,pratica,2,práticas de laboratório,57,Práticas Diferenciadas,3,Prêmios,2,Produções dos alunos,1,Produto Educacional,3,Promoções,2,Seleção de artigos,2,Sugestão de livros,4,Sugestão de página,1,Tecnologia,1,Tic's Na Matemática,1,Tratamento da Informação,2,Tretas da Matemática,18,V-LSM,2,Vídeo Aulas,1,
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Laboratório Sustentável de Matemática: Estudando o número imaginário com o Scratch
Estudando o número imaginário com o Scratch
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