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Dedução de relações métricas no triângulo retângulo, por semelhança com o Jamboard

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Hoje vou mostrar como o Jamboard pode se constituir em um suporte para a construção das relações métricas no triângulo retângulo por semelhança.

Construir com nossos estudantes a compreensão de onde vem os conceitos matemáticos que estudamos é fundamental para o seu aprendizado. Hoje vou mostrar como o Jamboard pode se constituir em um suporte para a construção das relações métricas no triângulo retângulo por semelhança.

Todas as imagens deste artigo foram retiradas do Jamboard que preparei para a discussão deste tema com meus estudantes, observe que este recurso tem várias páginas, para que você navegue entre elas, basta clicar nas setas para mudá-las e acompanhar o passo a passo que preparei.

Relações métricas no triângulo retângulo

Dada a figura abaixo, 



Podemos estabelecer as seguintes relações trigonométricas no triângulo retângulo adiante descritas.


Três triângulos semelhantes

Veja que os triângulos ABC  e HBA são semelhantes, pelo caso aa.



Veja que os triângulos ABC e HAC são semelhantes pelo caso aa.


Veja que, girando os três triângulos, colocamos seus lados entre os mesmos ângulos (lados homólogos), os quais são proporcionais, na mesma ordem. Isto facilita a construção das relações que queremos, uma vez que iremos usar justamente esta proporcionalidade.


Construindo relações métricas no triângulo retângulo

a.h=b.c  e c²=a.m

Tome os triângulos semelhantes ABC e HBA
Lados homólogos são proporcionais, logo: 

b/h=a/c, daí a.h=b.c
e
c/m = a/c, daí c²=a.m

b²=a.n

Tome os triângulos semelhantes ABC e HAC

Lados homólogos são proporcionais, logo: b/n=a/b, daí b²=a.n

h²=m.n

Tome os triângulos semelhantes HBA e HAC




Lados homólogos são proporcionais, logo: h/n=m/h, daí h²=m.n

a²=b²+c² (Teorema de Pitágoras)

Das deduções feitas anteriormente temos as relações:

b²=a.n (1)
c²=a.m (2)

Temos também que a= m+n (3)

A partir de (1) e (2) podemos fazer:

b²+c²=a.n+a.m

Colocando a em evidência, temos:

b²+c²=a.(n+m)

Como descrito em (3), a=m+n, substituindo n+m por a, temos:

b²+c²=a.a

Daí

b²+c²=a² (Teorema de Pitágoras).

A autora

Daniela Mendes é doutora pelo programa de pós graduação em Ensino de Matemática da UFRJ, leciona Matemática no Ensino Médio (SEEDUCRJ) e no Ensino Superior (UERJ). É também professora dos cursos de formação continuada da Fundação CECIERJ para professores de Matemática. Coordena, no Colégio Estadual Hebe Camargo, desde 2014, o projeto Laboratório Sustentável de Matemática.
Prêmio Shell de Educação Científica
Nome

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Laboratório Sustentável de Matemática: Dedução de relações métricas no triângulo retângulo, por semelhança com o Jamboard
Dedução de relações métricas no triângulo retângulo, por semelhança com o Jamboard
Hoje vou mostrar como o Jamboard pode se constituir em um suporte para a construção das relações métricas no triângulo retângulo por semelhança.
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Laboratório Sustentável de Matemática
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