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Jogo da translação para download!! Análise na reta na sala de aula da educação básica? Por Daniela Mendes.

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Atualmente estou cursando a disciplina de Análise, ministrada pelo professor Victor Giraldo na UFRJ, com foco nos processos de ensino aprendizagem de matemática e, dentro desta disciplina, na construção dos conjuntos numéricos, me chamou a atenção a questão da estrutura da operação de soma dentro do conjunto dos inteiros. Também tenho compartilhado ideias e aprendido bastante com o professor Ion Moutinho da UFF que tem se dedicado a pesquisar o ensino de números reais. Dessa forma, decidi abrir uma nova seção aqui no blog que é matemática para o ensino de um ponto de vista formal, onde relembraremos e estabeleceremos pontes entre a matemática que estudamos na universidade e a matemática que ensinamos na escola. Vamos lá.

Atualmente estou cursando a disciplina de Análise -com foco nos processos de ensino aprendizagem de matemática - ministrada pelo professor Victor Giraldo na UFRJ. Tenho me aventurado pelos caminhos da matemática formal há algum tempo e cursar esta disciplina me fez decidir abrir uma nova seção aqui no blog que é matemática para o ensino de um ponto de vista formal, onde relembraremos e estabeleceremos pontes entre a matemática que estudamos na universidade e a matemática que ensinamos na escola.

Hoje falarei da estrutura da operação de soma dentro do conjunto dos inteiros, esta temática está inserida no ensino de números reais, que é um tema sobre o qual tenho me debruçado há algum tempo desde que travei conhecimento da pesquisa de Ion Moutinho a respeito e com a qual me deparei novamente na disciplina do professor Victor. Assim sendo, neste texto divido com você leitor(a) as minhas considerações sobre esta estrutura e um jogo que desenvolvi para explorá-la, vamos lá?

Soma e multiplicação como únicas operações possíveis?!


Durante as aulas desta disciplina me surpreendi com o fato de que, a rigor, "só existem" duas operações que são a soma e a multiplicação, uma vez que subtrair é somar com um número negativo (ou seja, pelo simétrico do número pelo qual se está somando (a-b é a rigor  a+ (-b)) e dividir é multiplicar por uma fração própria (ou seja pelo inverso do número pelo qual se está dividindo) (a :b é a rigor a . 1/b). Neste texto irei falar especificamente da operação de soma, deixando para outro momento a discussão sobre a operação de multiplicação.

Mas o que é somar afinal?

Somar é caminhar na reta numérica, veja: no conjunto dos números naturais só é possível "caminhar" infinitamente para a direita sucessor a sucessor, o conjunto dos números inteiros traz a orientação para a matemática, ou seja, a partir da sua construção passa a ser possível "caminhar" para a direita ou para a esquerda com a operação de soma. 

Mas não é possível subtrair no conjunto nos naturais????

A rigor não é possível, pois não existem simétricos no conjunto dos naturais, mas é claro que não vamos rasgar nem os livros didáticos e nem a nossa prática em sala de aula com este formalismo ok? Essa operação só não é possível dentro da matemática formal e, aqui estamos discutindo apenas ideias desta matemática para agregar informações para as nossas decisões didáticas para a sala de aula.


Formando os elementos do conjunto dos inteiros

Se o conjunto dos naturais é composto de um inteiro primeiro e menor que todos e de seus sucessores, o conjunto dos inteiros é composto de classes de equivalência da subtração* onde temos dois naturais a e b e somamos o natural b com o simétrico de a. Não entre em pânico! Vamos a exemplos numéricos que vão clarear a minha explicação!!! 

Vejamos: suponha que a=4  e b=5, nos inteiros estes números perfazem a classe de equivalência 5+(-4)=1, ou seja, o número 1 é fruto dos infinitos a e b deste tipo, por exemplo: a=6 e b=7 que é 7+(-6)=1; a=8 e b=9 que é 9+(-8)=1 e por aí vai.... Todas as classes de equivalência em que b > a nos retornarão números positivos, ou seja a orientação para a direita. 

Os números negativos são formados similarmente: suponha que a=5  e b=4, nos inteiros estes números perfazem a classe de equivalência 4+(-5)=-1, ou seja, o número -1 é fruto dos infinitos a e b deste tipo, por exemplo: a=7 e b=6 que é 6+(-7)=-1; a=9 e b=8 que é 8+(-9)=-1 e por aí vai.... Todas as classes de equivalência em que b < a nos retornarão números negativos, ou seja a orientação para a esquerda. 

Agora é que vem o pulo do gato do conjunto dos inteiros, o nosso zero aqui é uma referência, pois o que está a sua direita é positivo e o que está a sua esquerda é negativo. E, você pode me perguntar, como se forma o zero no conjunto dos inteiros? Como você já deve estar imaginando, é quando na classe de equivalência a=b. Suponha que a=5  e b=5, nos inteiros estes números perfazem a classe de equivalência 5+(-5)=0, ou seja, o número 0 é fruto dos infinitos a=b, por exemplo: a=7 e b=7 que é 7+(-7)=0; a=9 e b=9 que é 9+(-9)=0 e por aí vai.... Todas as classes de equivalência em que a=b nos retornarão o zero, que passa a ser o nosso ponto de referência.  [que é o elemento neutro da adição veja que aqui o que estamos fazendo é a soma de um número com o seu simétrico]

Agora sim podemos somar!

A figura abaixo ilustra como funciona a soma dentro do contexto que proponho, nela podemos ver a soma do número negativo 13 com o número positivo 19 como translações na reta, ou seja, partindo do 0 como nosso ponto de referência  caminhamos 13 unidades para a esquerda e ao somar 19 à este número caminhamos 19 unidades para a direita chegando ao resultado final 6.

Material adaptado a partir de applet criado por Ion Moutinho

Somar é caminhar na reta de forma orientada!

Somar é transladar (deslocar), e dentro do conjunto dos inteiros, é transladar unidades para a direita (soma com números positivos), para esquerda (soma com números negativos) ou nenhuma unidade (soma com zero que é o elemento neutro da adição). E com esta ideia em mente criei o jogo da Translação com o objetivo de construir a ideia de adição como translação na reta e também associar a orientação ao conjunto dos inteiros como exposto neste texto.

O meu objetivo aqui é falar de orientação na reta, classes de equivalência e soma como translação de forma indireta formando o conceito sem falar dele e muito menos o ilustrando com notações e demonstrações em sala de aula. Então sem mais delongas, apresento o jogo e suas regras adiante.

O jogo da Translação

Novo Design do Jogo por Profª Rose Cavalcante


Este é um jogo de trilha onde se inicia no 0 (marcado por um x) e se caminha tantas casas quantas forem sorteadas em um dado que contém números positivos e negativos. Aqui podem jogar duas pessoas de cada vez e cada um dos participantes pode utilizar uma borracha ou um apontador para marcar a sua posição, o zero é o ponto de partida e ponto de referência do jogo, as casas à sua direita são positivas e à sua esquerda são negativas. Ganha quem chegar primeiro tanto no ponto de chegada à esquerda quanto quem chegar no ponto de chegada à direita, ou seja, neste contexto caminhar para o lado negativo ou para o positivo não é bom nem ruim em si o que contribui para desconstruir a aversão dos alunos aos números negativos**.

Regras do jogo

Para iniciar o jogo os participantes decidem no par ou ímpar quem começa e a cada rodada jogam um dado de 6 lados em que cada lado tem um número e um sinal, a saber: +1, -2, -3, +4,- 5, +6, os números indicam quantas casas o participante andará e os sinais indicam a direção para a qual ele(a) andará, as casas da trilha estão marcadas com bolinhas. Por exemplo, o primeiro participante sorteia o número -2, isto significa que ele andará duas casas para a esquerda, se na rodada seguinte ele tirar o número +5 ele volta  para a direita do passando pelas as duas casas que andou e caminha mais 3 casas terminando na terceira casa à direita do zero, e assim sucessivamente até que um dos participantes chegue a um dos finais da trilha.

Este jogo tem casas especiais de ação, marcadas por estrelas douradas, prateadas e marrons: 

Nas estrelas douradas o participante pode escolher o sinal do número que tirou, ou seja, se ele já estava caminhando para a esquerda e tirou um número positivo isto irá afastá-lo da chegada, portanto essa casa permite que ele mude o sinal do número para negativo e continue caminhando na direção da chegada à esquerda.


Nas estrelas prateadas o participante pode escolher mudar a quantidade de casas que irá andar, mas não o sinal, ou seja, se ele já estava caminhando para a esquerda e tirou um número positivo isto irá afastá-lo da chegada; portanto, essa casa permite que ele mude a quantidade de casas a andar para uma, por exemplo, e  se afaste o mínimo possível da direção da chegada à esquerda.

Nas estrelas marrons o participante fica uma rodada sem jogar.

Download


O download do tabuleiro e das regras do jogo em PDF pode ser feito clicando aqui, é só baixar, imprimir e jogar!


Para finalizar

Acredito fortemente que as ideias que estão por trás dos objetos matemáticos devem estar no centro das nossas discussões em sala de aula e que o espaço escolar pode e deve ser um local para nos aventurarmos longe de uma matemática meramente procedimental, algorítmica e excessivamente centrada em fórmulas. Vamos juntos e juntas desconstruir essa visão tecnicista da nossa bela Rainha das Ciências.

Agradecimentos

Agradeço ao professor Victor Giraldo por problematizar o ensino da matemática tanto conosco, seus alunos e alunas, quanto em seus livros e palestras; Ao professor Ion Moutinho cujas pesquisas fizeram com que eu me apaixonasse pelo ensino dos números Reais, ao professor Luiz Felipe Lins e às professoras Loisi e Cris que me mostraram como os jogos podem auxiliar no aprendizado, de fato, da Rainha das ciências, ao meu filho Tiago que me ajudou a deixar este jogo mais divertido propondo as casas de ação e jogando-o e modificando-o inúmeras vezes comigo com vistas a deixá-lo mais dinâmico e, finalmente, mas não menos importante, ao meu marido Nazareno pela revisão deste texto. A vocês o meu muito obrigada!!!

* Em matemática, dado um conjunto X com uma relação de equivalência, a classe de equivalência de um elemento z pertencente a X é o subconjunto de todos os elementos de X que são equivalentes a z.
** Essa ideia de tanto os negativos quanto os positivos terem pontos de chegada é do professor Luiz Felipe Lins.
Prêmio Shell de Educação Científica
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Atividades Matemáticas,1,Autor Convidado,4,Avaliação diferenciada,8,Clipping LSM,41,Como fazer,13,Didática & Matemática,34,Divulgação,4,Eco-notícias,4,Educação Matemática Crítica,1,Ensaios,21,Ensino Fundamental Anos Finais,1,Ensino Médio,1,Ensino Remoto,28,Eventos,30,Experimentos,10,Galeria de Vídeos,1,Jogos,12,Jormat,1,Livros LSM,6,Logaritmos,1,LSM-CIEP 111,2,Matemática é Ciência,1,Matemática e sustentabilidade,2,Matemática e Tecnologia,3,Matemática Inclusiva,3,Matemática para os anos iniciais,12,Metodologias diferenciadas,1,Objetos de aprendizagem,31,Palestras & Formações,42,pratica,2,práticas de laboratório,57,Práticas Diferenciadas,3,Prêmios,2,Produções dos alunos,1,Produto Educacional,3,Promoções,2,Seleção de artigos,2,Sugestão de livros,4,Sugestão de página,1,Tecnologia,1,Tic's Na Matemática,1,Tratamento da Informação,2,Tretas da Matemática,18,V-LSM,2,Vídeo Aulas,1,
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Laboratório Sustentável de Matemática: Jogo da translação para download!! Análise na reta na sala de aula da educação básica? Por Daniela Mendes.
Jogo da translação para download!! Análise na reta na sala de aula da educação básica? Por Daniela Mendes.
Atualmente estou cursando a disciplina de Análise, ministrada pelo professor Victor Giraldo na UFRJ, com foco nos processos de ensino aprendizagem de matemática e, dentro desta disciplina, na construção dos conjuntos numéricos, me chamou a atenção a questão da estrutura da operação de soma dentro do conjunto dos inteiros. Também tenho compartilhado ideias e aprendido bastante com o professor Ion Moutinho da UFF que tem se dedicado a pesquisar o ensino de números reais. Dessa forma, decidi abrir uma nova seção aqui no blog que é matemática para o ensino de um ponto de vista formal, onde relembraremos e estabeleceremos pontes entre a matemática que estudamos na universidade e a matemática que ensinamos na escola. Vamos lá.
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